У роботі обгрунтовано існування та єдиність $B$-зображення чисел інтервалу $(0;1),$ яке в якості основи використовує додатне число $a$, що задовольняє  умову $0<a<\frac{1}{3}$, зокрема додатний корінь $\tau$ рівняння $x^2+x-1=0$, двосторонню послідовність  $(\Theta_n)$: $\Theta_0=\frac{1-3a}{1-a}$, $\Theta_{-n}=\Theta_n=a^{|n|}$ і алфавіт $Z=\{0,\pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots \},$
а саме:
$$x=b_{\alpha_1}+\sum\limits_{k=2}^{m}b_{\alpha_k}\prod\limits_{i=1}^{k-1}\Theta_{\alpha_i}\equiv
  \Delta^{B}_{\alpha_1\alpha_2...\alpha_m(\emptyset)},$$
$$x=b_{\alpha_1}+\sum\limits_{k=2}^{\infty}b_{\alpha_k}\prod\limits_{i=1}^{k-1}\Theta_{\alpha_i}\equiv
  \Delta^{B}_{\alpha_1\alpha_2...\alpha_n...},$$
де $\alpha_n\in Z$, $\Theta_n>0~\forall n\in Z$, $\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\Theta_n=1$,
$b_{n+1}\equiv\sum\limits_{i=-\infty}^{n-1}=b_n+\Theta_n$ $\forall n\in Z$.

 Описано геометрію $B$-зображення чисел (геометричний зміст цифр, властивості циліндричних і хвостових множин, тополого-метричні властивості множин з обмеженнями на вживання цифр); вивчено оператори лівостороннього і правостороннього зсувів цифр, описано групу неперервних перетворень одиничного інтервала, що зберігають хвости $B$-зображення чисел.

[1] Galambos J. Representations of real numbers by infinite series.Berlin: Springer-Verlag, 1976. 146 p.
[2] Pratsovytyi M. V., Baranovskyi O. M., Bondarenko O.I., Ratushniak S.P. One class of continuous
locally complicated functions related to infinite-symbol Φ-representation of numbers. Matematychni
Studii, 59(2), 123-131. https://doi.org/10.30970/ms.59.2.123-131
[3] Pratsovytyi M.V., Lechinskii O.L. Properties of random variable defined by the distributions of elements
of their $\widetilde{Q}_{\infty}$-representation // Theor. Probability and Math. Statist. No.57, 1998. — P.143–148.

[4] Pratsiovytyi M.V., Feshchenko O.Yu. Topological-metric and fractal properties of the distributions on
the set of the incomplete sums of series of positive terms // Theory of Stochastic Processes. — 2007.
— 13(29), № 1-2. — P. 205–224.
[5] Schweiger F. Ergodic theory of fibred systems and metric number theory. New York: Oxford University
Press., 1995. 320 p.
[6] Бондаренко О.I., Працьовитий М.В. Канторiвська система числення, пов’язвана з двiйковим ря-
дом i послiдовнiсть Фiбоначчi // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2017. — Т.14, № 4.
— Київ: Iнститут математики НАН України, 2017. С.178–187.
[7] Працьовитий М., Бондаренко О., Лисенко I., Ратушняк С. Неперервнi функцiї з локально скла-
дними та фрактальними властивостями, пов’язанi з нескiнченносимвольним B-зображенням чи-
сел// Нелiнiйнi коливання, 2023, т. 26. № 3.
[8] Працьовитий М. В. Двосимвольнi системи кодування дiйсних чисел та їх застосування. — Київ:
Наукова думка, 2022. — 316с.
[9] Працьовитий М.В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингулярних розподiлiв. — Київ: НПУ
iменi М.П.Драгоманова, 1998. — 296 с.