Параболічність у сенсі як Петроського, так і Шилова має скалярний характер, вона не спроможна враховувати специфіку неоднорідності середовища. У зв'язку з цим на початку 70-х років С.Д. Ейдельман запропонував так звану $\vec{2b}$-параболічність, яка є природним узагальненням параболічності за Петровським на випадок анізотропного середовища. Детальне дослідження задачі Коші для рівнянь з такою параболічністю проведено в працях С.Д. Ейдельмана, С.Д. Івасишена, М.І. Матійчука та їх послідовників.

Розширенням параболічності за Шиловим на випадок анізотропних середовищ є $\{\vec{p},\vec h\}$-параболічність. Клас рівнянь з такою параболічністю досить широкий, він охоплює класи Ейдельмана, Петровського, Шилова та дозволяє уніфікувати класичну теорію задачі Коші для параболічних рівнянь.

У даній роботі для неоднорідних $\{\vec{p},\vec h\}$-параболічних рівнянь з векторним додатним родом досліджуються умови, за яких задача Коші в класі узагальнених початкових функцій типу розподілів Гельфанда і Шилова буде коректно розв'язною. При цьому, неоднорідності рівнянь є неперервними за сукупністю змінних функціями скінченної гладкості, які стосовно просторової змінної спадають, а за часовою змінною є необмеженими з інтегровною особливістю.

[1] Эйдельман С.Д. Об одном классе параболических систем Докл. АН СССР. 1960, {\bf 133} (1), 40--43.
[2] Литовченко В.А. Задача Коши для {p, h}-параболических уравнений с коэфициентами, зависящими от времени Матем. заметки. 2005, 77 (3), 395--411. doi: 10.1007/s11006-005-0036-9
[3] У Хоу--синь Об определении параболичности систем уравнений в частных производных Успехи матем. наук. 1960, 15 (6), 157--161.
[4] Матийчук М.И., Эйдельман С.Д. О фундаментальных решениях и задаче Коши для параболических систем, коэффициенты которых удовлетворяют условию Динин Труды семинара по функц. анализу. Воронеж. 1967, 9, 54--83.
[5] Ивасишен С.Д., Эйдельман С.Д. 2b-параболические системы Труды семинара по функц. анализу. Киев: Ин-т матем. АН УССР. 1968, 1, 3--175.
[6] Ивасишен С.Д. Об интегральных представления и свойстве Фату для решений параболических систем Успехи матем. наук. 1986, 41 (4), 173--174.
[7] Ивасишен С.Д. Интегральное представление и начальные значения решений 2b-параболических систем Укр. матем. журн. 1990, 42 (4), 500--506.
[8] Івасишен С.Д., Пасічник Г.С. Про задачу Коші для 2b-параболічних систем зі зростаючими коефіцієнтами Укр. матем. журн. 2000, 52 (11), 1484--1496.
[9] Городецкий В.В. О локализации решений задачи Коши для 2b-параболических систем в классах обобщенных функций Дифф. уравн. 1988, 24 (2), 348--350.
[10] Eidelman S.D., Ivasyshen S.D., Kochubei A.N. Analytic methods in the theory of differential and pseudodifferential equations of parabolic type. Basel-Boston-Berlin: Birkhaser, 2004.
[11] Літовченко В.А. Коректна розв’язність задачі Коші для параболічних псевдодиференціальних систем у просторах нескінченно диференційовних функцій. Автореф. дис. … докт. фіз.-мат. наук: 01.01.02. Київ, 2009.
[12] Літовченко В.А. Фундаментальний розв’язок задачі Коші для {p, h}-параболічних систем зі змінними коефіцієнтами Нелін. колив. 2018, 21 (2), 189--196. https://doi.org/10.1007/s10958-019-04537-x
[13] Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Пространства основных и обобщенных функций. М.: Физматгиз, 1958.
[14] Гельфанд И.М. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1958.
[15] Dovzhytska I.M. The Cauchy problem for inhomogeneous parabolic Shilov equations Carpathian Math. Publ. 2021, 13 (2), 475484. https://doi.org/10.15330/cmp.13.2.475-484