Поняття параболiчностi за Шиловим узагальнює поняття параболiчностi за Петровським рiвнянь з частинними похiдними та призводить до iстотного розширення вiдомого класу Петровського тими параболiчними рiвняннями, порядок яких вже може не збiгатися з показником параболiчностi. Таке розширення, взагалi кажучи, позбавляє параболiчної стiйкостi стосовно змiни коефiцiєнтiв параболiчних за Шиловим рiвнянь, яка є притаманною для рiвнянь з класу Петровського. У зв’язку з цим виникають iстотнi труднощi при дослiдженнi задачi Кошi для параболiчних за Шиловим рiвнянь зi змiнними коефiцiєнтами.
У 60-х роках минулого столiття Я.I. Житомирський означив спецiальний клас параболiчних типу Шилова рiвнянь, який розширює клас Шилова i при цьому, є параболiчно стiйким до змiни молодших коефiцiєнтiв. Для цього класу вiн методом послiдовних наближень встановив коректну розв’язнiсть задачi Кошi в класi обмежених початкових функцiй скiнченної гладкостi. Однак для одержання загальнiших результатiв важливим є знання функцiї Грiна задачi Кошi.
У данiй публiкацiї для параболiчних типу Шилова рiвнянь iз обмеженими гладкими змiнними коефiцiєнтами та вiд’ємним родом встановлено оцiнки повторних ядер функцiї Грiна задачi Кошi, якi дозволяють дослiдити властивостi густини об’ємного потенцiалу цiєї функцiї. Цi результати важливi для розбудови теорiї задачi Кошi для параболiчних типу Шилова рiвнянь класичними засобами функцiї Грiна.

[1] Shilov G.E. On conditions of correctness of Cauchy’s problem for systems of partial differential equations with constant coefficients Uspekhi Mat. Nauk. 1955, 10 (4), 89–100. (in Russian)
[2] I. Gel’fand and G. Shilov Generalized Functions. Vol. 3. Theory of Differential Equations. Boston, MA: Academic Press, 1967.
[3] Zhitomirskii Ya.I. Cauchy problem for some types of systems of linear equations, which are parabolic by G.E. Shilov, with partial derivatives with continuous coefficients Izv. AN SSSR. Ser. Mat. 1959, 23, 925–932. (in Russian)
[4] U. Hou-Sin On the definition of parabolicity of systems of equations with partial derivatives Uspekhi Mat. Nauk. 1960, 15 (6), 157–161. (in Russian)
[5] S.D. Eidelman, S.D. Ivasishen, and F.O. Porper The Liouville theorems for systems parabolic by Shilov Izv. Vyzov. Mat. 1961, (6), 169–179. (in Russian)
[6] Gorodetskii V.V. Some theorems on the stabilization of solutions of the Cauchy problem for Shilov parabolic systems in classes of generalized functions Ukr. Math. J. 1988, 40 (1), 43–48. (in Russian)
[7] Gorodetskii V.V. Cauchy’s problem for Shilov parabolic equations in classes of generalized periodic functions Izv. Vyzov. Mat. 1988, (5), 82–84. (in Russian)
[8] V. Litovchenko The Cauchy problem for parabolic equations by Shilov Siber. Mat. Zh. 2004, 45 (4), 809–821. doi: 10.1023/B:SIMJ.0000035831.63036.bb
[9] V. Litovchenko Cauchy problem for $\{\overrightarrow{p};\overrightarrow{h}\}$-parabolic equations with time-dependent coefficients Math. Notes. 2005, 77 (3-4), 364–379. doi: 10.1007/s11006-005-0036-9
[10] Q. Zheng Matrices of operators and regularized cosine functions Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2006, 315 (1), 68–75.
[11] M. Kostic Shilov Parabolic Systems Bulletin (Academie serbe des sciences et des arts. Classe des sciences mathematiques et naturelles. Sciences mathematiques). 2012, 37, 19–39.
[12] I.M. Dovzhytska Cauchy problem for inhomogeneous parabolic Shilov equations Carpathian Math. Publ. 2021, 13 (2), 475–484. doi:10.15330/cmp.13.2.475-484
[13] G. Unguryan Modified Cauchy Problem with Impulse Action for Parabolic Shilov Equations International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. 2021, 2021, 1–10. https://doi.org/10.1155/2021/5539676
[14] G. Unguryan Nonlocal problem with impulse action for parabolic equations of vector order Ukr. Math. J. 2021, 73 (11), 1532–1540. doi:10.37863/umzh.v73i11.6521. (in Ukrainian)
[15] Petrowsky I.G. UЁber das Cauchyche Problem fuЁr Systeme von partiellen Differentialgleichungen Маt. Sb. 1937, 2 (5), 815–870. (in Russian)
[16] Friedman A. Partial Differential Equations of Parabolic Type. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1964.
[17] Eidelman S.D. Parabolic Systems. North-Holland, Amsterdam, 1969.
[18] Litovchenko V.A., Dovzhitska I.M. The fundamental matrix of solutions of the Cauchy problem for a class of parabolic systems of the Shilov type with variable coefficients J. Math. Sci. 2011, 175 (4), 450–476. doi: 10.1007/s10958-011-0356-0
[19] V. Litovchenko and I. Dovzhytska Cauchy problem for a class of parabolic systems of Shilov type with variable coefficients Cent. Eur. J. Math. 2012, 10 (3), 1084–1102. doi: 10.2478/s11533-012-0025-7
[20] Litovchenko V.A., Dovzhytska I.M. Stabilization of solutions to Shilov-type parabolic systems with nonnegative genus Siberian Math. J. 2014, 55 (2), 276–283. https://doi.org/10.1134/S0037446614020104
[21] Litovchenko V.A., Unguryan G.M. Conjugate Cauchy Problem for Parabolic Shilov Type Systems with Nonnegative Genus Diff. Equat. 2018, 54 (3), 341–357. https://doi.org/10.1134/S0012266118030060
[22] V. Litovchenko and G. Unguryan Some properties of Green’s functions of Shilov-type parabolic systems Miskolc Math. Notes. 2019, 20 (1), 365–379. doi: 10.18514/MMN.2019.2089
[23] Litovchenko V.A. Shilov systems in spaces of types S and S‘. Chernivtsi: СhNU, 2019. ISBN: 978-966- 423-520-1. (in Ukrainian)
[24] Litovchenko V.A. Peculiarities of the Fundamental Solution of Parabolic Systems with a Negative Genus: Chapter of the monograph. Advances in the Solution of Nonlinear Differential Equations: IntelOpen-London, 2021. DOI: 10.5772/intechopen.92489; ISBN: 978-1-83968-657-3
[25] I. M. Gel’fand and G. E. Shilov Spaces of Basic and Generalized Functions. Moscow: Gos. Izd. Fiz. Mat. Lit., 1958. (in Russian)