Нехай $s_{\lambda}(x_1,x_2,\ldots, x_n) $ -- многочлен Шура, який індексується розбиттям $\lambda$ довжини не більше $n.$
Для породжуючої функції $$
G_n(x,t)=\sum_{\lambda} s_{\lambda}(x_1,x_2,\ldots, x_n) t_1^{\lambda_1 } t_2^{\lambda_2 } \cdots t_n^{\lambda_n},
$$ обчислено її явний вигляд для $n=2,3$ і знайдено рекурентне співвідношення для довільного $n$. Доведено, що $G_n(x,t)$ є раціональним дробом
$$G_n(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{t})=\frac{P(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{t})}{Q(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{t})},$$
чисельник і знаменник якого належать ядру диференціального оператора
$$
\mathcal{D}_n=\sum_{i=1}^n x_i \frac{\partial}{\partial x_i}- \sum_{i=1}^n t_i \frac{\partial}{\partial t_i}.
$$
Для чисельника $P(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{t})$ знайдена його спеціалізація при $t_1=t_2=\cdots=t_n=1.$

[1] Baclawski K. Character generators for unitary and symplectic groups. Journal of Mathematical Physics 1983,24, 1688. doi: 10.1063/1.525912
[2] Fulton W., Harris, J. Representation theory: a first course. Graduate texts in mathematics, 129, Springer, 2004.
[3] Littlewood D. The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups. Oxford Uni- versity Press, New York, 1940.
[4] Macdonald I. Symmetric Functions and Hall Polynomials. Clarendon Press, 1998.
[5] Nunez J. F., Fuertes W. G., Perelomov А. On an approach for computing the generating functions of the characters of simple Lie algebras. Journal of Physics A-Mathematical And Theoretical 2014, 47, 145202. doi:10.1088/1751-8113/47/14/145202
[6] Nunez J. F., Fuertes W. G., Perelomov А. Generating functions for characters and weight multiplicities of irreducible sl(4)-modules. Journal of Nonlinear Mathematical Physics 2018, 25, №4, p.618–632. doi: 10.1080/14029251.2018.1503436
[7] Patera J., Sharp R. T. Generating functions for characters of group representations and their application. In: Takasugi, E. (Ed.) Lect. Notes Phys., 94, Springer, 1979.
[8] Schur I. Uber eine Klasse von Matrizen, die sich einer gegebenen Matrix zuordnen lassen. Dieterich, 1901.
[9] Stanley R. The character generator of SU(n). Journal of Mathematical Physics 1980, 21, 2321. doi:10.1063/1.524687