У необмеженiй за просторовими змiнними областi дослiджено мiшану задачу для нелiнiйного еволюцiйного рiвняння третього порядку. Умови iснування розв'язку такої задачi отримано в узагальнених просторах Соболєва.

[1]  James M. Greenberg, Richard C. Mac Camy and Victor J. Mizel. The equation $σ' (u_x)u_{tt} + λu_{xtx} = p_0u_{tt}$  // Journal of Mathematics and Mechanics - 1968. - Vol. 17. - No 7. - P. 707-728.

[2] Constantine M. Dafermos. The mixed initial- boundary value problem for the equations of nonlinear one-dimensional viscoelasticity // Journal of Differential Equations - 1969. - Vol. 6. - P. 71-86.

[3] Graham Andrews. On the existence of solution to the equation $u_{tt} = u_{xxt} + σ(u_x)_x$ // Journal of Differential Equations - 1980. - Vol. 35. - P. 200-231.

[4] Dang Dinh Hai. On a strongly damped quasilinear wave equation // Demonstratio mathematica - 1986. - Vol. XIX, No 2. - P. 327-340.

[5] Glazatov S. N. Some problems for nonlinear equations of the third order. - Novosibirsk, 1992. Preface № 7.

[6] Бугрій О., Доманська Г., Процах Н. Мішана задача для нелінійного рівняння третього порядку в узагальнених просторах Соболєва // Вісник Львів. ун-ту. Серія мех.-мат. - Вип. 64, - 2005. C. 44-61.

[7]  Stuart S. Antman and Thomas I. Seidman. Quasilinear hyperbolic-parabolic equation of one- dimensional viscoelasticity // Journal of Differential Equations - 1996. - Vol. 124. - P. 132-185.

[8] Mitsuhiro Nakao and Hiroko Okochi. Antiperiodic solution for $u_{tt} - (σ(u_x))_x - U_{xxt} = f(x,t)$  // Journal of Mathematical Analysis and Applications - 1996. - Vol. 197. - P. 796-809.

[9] Mitsuhiro Nakao. Existence of an anti-periodic solution for the quasilinear wave equation with viscosity// Journal of Mathematical Analysis and Applications - 1996. - Vol. 204. - P. 754-764.

[10] Fengxin Chen, Boling Guo and Ping Wang. Long time behavior of strongly damped nonlinear wave equations // Journal of Differential Equations - 1998. - Vol. 147. - P. 231-1241.

[11] João − Paulo Dias. On the existence of a global strong radial symmetric solution for a third-order nonlinear evolution equation in two space dimensions// Journal of Mathematical Pures Applications - 2001. - Vol. 80. - No. 5. - P. 535- 546.

[12] Zhijian Yang and Guowang Chen. Global existence of solutions for quasi-linear wave equations with viscous damping// Journal of Mathematical Analysis and Applications - 2003. - Vol. 285. - P. 604-618.

[13] Zhijian Yang. Cauchy problem for quasi-linear wave equations with nonlinear damping and source terms // Journal of Mathematical Analysis and Applications - 2004. - Vol. 300. - P. 218-243.

[14] Gaevsky H., Greger K., Zacharias K. Nonlinear operator equations and operator differential equations. - M., 1978.

[15] Kováčik O., Rákosnik J. On spaces $L^{p(x)}$ and $W^{1, p(x)}$ // Czechoslovak Math. J. - 1991. - Vol. 41 (116).- P. 592-618.

[16] Coddington E. A., Levinson N. Theory of ordinary differential equations. - M., 1958.

[17] Lions J.-L. Some methods for solving nonlinear boundary value problems. - M., 2002.