Розглядається мiшана крайова задача для рiвняння Пуассона у дворiвневому з'єднаннi $Ω_ε,$  яке є об'єднанням деякої областi $Ω_0$ та великої кiлькостi $N$ тонких цилiндрiв. Тонкi цилiндри роздiлено на два рiвнi в залежностi вiд їх довжини i крайових умов, що задаються на їх бiчних сторонах. Цилiндри з кожного рiвня $ε$-перiодично чергуються. На бiчних поверхнях цилiндрiв з першого рiвня задано неоднорiднi крайовi умови Неймана, а на бiчних поверхнях цилiндрiв з другого рiвня - однорiднi крайовi умови Дiрiхле. Використовуючи метод узгодження асимптотичних розвинень та спецiальнi розв'язки типу примежевого шару в зонi з'єднання, побудовано асимптотичне наближення для розв'язку даної задачi та доведено вiдповiднi асимптотичнi оцiнки у просторi Соболєва $H^1 (Ω_ε)$ при $ε → 0 (N → ∞).$ 

[1] Bakhvalov N.S., Panasenko G.P. Homogenization: averaging processes in periodic media. - Kluwer Academic Publishes, series "Mathematics and its Applications", 1989.

[2] Bensoussan A., Lions J., Papanicolau G. Asymptotic analysis for periodic structure. - Amsterdam, North Holland, 1978.

[3] Cioranescu D., Saint Jean Paulin J. Homogenization of reticulated structures. - Springer-Verlag, series "Applied Mathematical Sciences", 1999.

[4] Zhikov V.V., Kozlov S.M. , Oleinik O.A. Homogenization of Differential Operators and Integral Functionals. - Springer, Berlin-Heidelberg, 1994.

[5] Kovalevsky A.A. Averaging of Neumann problems for nonlinear elliptic equations in domains with accumulators / / Ukr. mat. zhurn. - 1995. - V. 47, № 2. - P. 194-212.

[6] Marchenko V.A., Khruslov E.Ya. Boundary value problems in domains with fine-grained boundaries. - Kyiv: Naukova Dumka, 1974. - 279 p.

[7] Nazarov S.A. Asymptotic analysis of thin plates and rods. Volume 1. Dimensionality reduction and integral estimates. Novosibirsk: "Nauchnaya kniga", 2002. - 406 p.

[8] Oleynik O.A., Iosifyan G.A., Shamaev A.S. Mathematical problems of the theory of highly inhomogeneous elastic media. - M.: Moscow State University Publishing House, 1990. 310 p.

[9] De Maio U., Mel'nyk T.A., Perugia C. Homogenization of the Robin problem in a thick multi-level junction // Nonlinear oscillations. - 2004. - V. 7, № 3. - P. 336-356.

[10]  Mel'nyk T.A., Vashchuk P.S. Homogenization of a boundary-value problem with changing of the boundary condition type in a thick two-level junction // Nonlinear oscillations. - 2005. - V. 8, № 2. - P. 241-257.

[11] Mel'nyk T.A. Asymptotic behavior of eigenvalues and eigenfunctions of the Fourier problem in a thick multi-level junction // Ukrainian Math. Journal. - 2006. - V. 58, № 2. - P. 195-217.

[12] De Maio U., Durante T., Mel'nyk T.A. Asymptotic approximation for the solution to the Robin problem in a thick multi-level junction // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences (to appear).

[13] Durante T., Mel'nyk T.A., Vashchuk P.S. Asymptotic aproximation for the solution to a boundary-value problem with varying type of boundary conditions in a thick two-level junction // Nonlinear oscillations. - 2006. - V. 9, № 3. - P. 336-355.

[14] Mel'nyk T.A., Vashchuk P.S. Homogenization of the Neumann-Fourier problem in a thick two-level junction of type 3:2:1 // MPAG. - 2006. - V. 1, № 3, - P. 318-337.

[15] Melnik T.A., Nazarov S.A. Asymptotics of the solution of the Neumann spectral problem in a domain of the "dense comb" type // Proceedings of the I.G.Petrovsky seminar. - 1996. - V. 19. - P.138-174.

[16] Mel'nyk T.A. Homogenization of the Poisson equation in a thick periodic junction // Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen. - 1999. - V. 18, № 4. - P. 953-975.

[17]  Мельник Т.А. Усереднення сингулярно збуреної параболічної задачі в густому періодичному зʼєднанні типу 3:2:1 // Український математичний журнал. - 2000. - Т. 11. - С. 1524-1534.