У данiй роботi вивчаються необхiднi й достатнi умови на систему $\mathcal{A}$ пiдмножин топологiчного простору $X$ для того, щоб для довiльно функцiї $f: X → \mathbb{R}$  з неперервностi кожного звуження $f|_A,$ де $A ∈ \mathcal{A}$,  на $A$ (чи в деякiй точцi $x_0 ∈ X$) випливала неперервнiсть $f$ на $X$ (чи в точцi $x_0$).

[1] Young G., Young W. Discontinuous functions continuous with respect to every straight line // Quart. J. Pure Appl. Math. - 1909. - 41. - P.87-99.

[2] Rosenthal A. On the continuiuty of functions of several variables // Math. Z. - 1955. - 63. - S.31-38.

[3] Kantorovich L.V., Akilov G.P. Functional analysis. - M.: Nauka, 1977. - 744 p.

[4] Engelking R. General topology. - M.: Mir, 1986. - 752 p.

[5] Маслюченко В.К. Нарізно неперервні відображення і простори Кете. Дис. ... доктора фіз.-мат. наук. - Чернівці, 1999. - 345 c.